[논문 리뷰] The impact of violations of expected utility theory on choices in the face of multiple risks

논문 선정 이유

 

Behavior Economics를 공부하면서 들었던 의구심들에 대한 정확한 원인은 몰랐는데 정우형이 말해준 뒤로 Random Utility Theory(RUM)에 크게 공감하지 못하고 있어서라는 걸 인지하게 되었다. 실제로 사람들은 그리 이성적이지 않고 utility에 따라 행동하지 않을 것 같다고 생각하고 있다. 그래서 RUM이 적용되지 않는 사례에 대해서 다루는 해당 논문을 찾게 되었다. 구체적으로 불확실성과 다중 위험을 동반한 선택을 통해 선호를 측정할 수 있는 분석 프레임워크 개발에 관한 내용이다. 

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Intro

최근 규제 및 의학적 의사결정에서 최대 허용 위험(MAR, Maximum Acceptable Risk)을 이용한 평가 방식이 널리 사용되고 있다. MAR은 특정 치료나 정책의 혜택이 발생 가능한 부작용의 위험을 얼마나 상쇄할 수 있는지 나타내는 지표로, 환자의 위험 감수성을 수치화하기 위해 사용된다.  

MAR의 도출은 주로 EUT(기대 효용 이론, Expected Utility Theory)에 기반하여 이루어진다. EUT는 효용이 각 결과의 확률에 비례적으로 결정된다는 가정하에 작동한다. 하지만, 다양한 실험적 증거는 사람들이 확률을 해석하는 방식이 EUT의 비례성을 따르지 않는 경우가 많음을 보여준다. 즉, probability와 utility가 linear하지 않다.

 

예를 들어, Kahneman과 Tversky(2013)는 사람들이 낮은 확률 사건을 과대평가하거나, 높은 확률 사건을 과소평가하는 경향이 있음을 밝혔다. 이는 확률과 효용 사이의 선형적 관계가 깨질 수 있음을 시사하며, 이는 MAR과 같은 위험 감수성 지표를 왜곡할 수 있다.  

또한, 실제 의학적 및 규제적 의사결정에서는 단일한 불확실성 요소가 아닌 다중 위험 요소를 동시에 고려해야 하는 경우가 많다. 그러나 EUT의 틀 내에서는 이러한 다중 위험을 적절히 평가하기 어려울 수 있다. 따라서 이 논문은 다중 위험을 포함하는 의사결정을 분석하기 위해 NEUF(비-기대 효용 틀, Non-Expected Utility Framework)를 기반으로 한 분석적 틀을 제안한다.

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구체적인 framework

 

EUT(기대 효용 이론)는 의사결정자가 결과의 확률과 효용의 선형 조합으로 자신의 선택을 평가한다고 가정한다. 두 개의 불확실한 결과 \( X_1, X_2 \)가 존재할 때, 네 가지 가능한 상황이 있을 수 있다 :

1. \( X_1 \)과 \( X_2 \)가 모두 발생.
2. \( X_1 \)만 발생.
3. \( X_2 \)만 발생.
4. \( X_1 \)과 \( X_2 \)가 모두 발생하지 않음.

이 네 가지 상황에서 각 결과의 확률과 효용을 통해 기대 효용은 다음과 같이 정의된다:
\[
E[U] = P(X_1)P(X_2)V(X_1, X_2) + P(X_1)P(\neg X_2)V(X_1, \neg X_2) + P(\neg X_1)P(X_2)V(\neg X_1, X_2).
\]

여기서:

- \( P(X_1) \)와 \( P(X_2) \)는 각각 결과 \( X_1 \)과 \( X_2 \)가 발생할 확률.
- \( V(X_1, X_2) \)는 결과 \( X_1, X_2 \)가 동시에 발생했을 때의 효용.
- \( P(\neg X_1) = 1 - P(X_1) \)는 \( X_1 \)이 발생하지 않을 확률을 나타냄.

만약 \( X_1 \)과 \( X_2 \)가 독립적이고, 효용이 가산적(additively separable)이라면, 위의 식은 다음과 같이 단순화된다:
\[
E[U] = P(X_1)V(X_1, \neg X_2) + P(X_2)V(\neg X_1, X_2).
\]

이 식은 두 결과가 독립적이고 효용의 상호작용 효과(즉, \( V(X_1, X_2) - V(X_1, \neg X_2) - V(\neg X_1, X_2) \))가 없는 경우에만 성립한다.

그런데, EUT가 성립하지 않는 경우, 두 가지 주요 문제가 발생한다:

1. 확률과 효용의 선형적 비례 관계가 깨진다.
2. 결과 \( X_1, X_2 \)가 독립적이라고 하더라도, 조합 확률 \( P(X_1 \cap X_2) \)가 단순히 \( P(X_1)P(X_2) \)로 계산되지 않을 수 있다.

이를 해결하기 위해 NEUF는 각 결과의 확률을 비선형 함수로 보정한다. 결과 \( X_j \)에 대한 확률 가중 함수 \( \omega_j(P(X_j)) \)를 도입하여 다음과 같이 효용 기대값을 표현할 수 있다:
\[
E[U] = \omega_1(P(X_1))\omega'_2(P(X_2))V(X_1, \neg X_2) + \omega_2(P(X_2))\omega'_1(P(X_1))V(\neg X_1, X_2).
\]
여기서:
- \( \omega_j(P(X_j)) \): 결과 \( X_j \)의 확률 \( P(X_j) \)에 대한 가중 함수.
- \( \omega'_j(P(X_j)) \): 다른 결과 \( X_k \)가 \( X_j \)에 미치는 교차 효과를 반영한 확률 가중치.

NEUF에서는 \( \omega_j(P(X_j)) \)와 \( \omega'_j(P(X_j)) \)가 결과별로 서로 다를 수 있으며, 이는 결과 간 상호작용 효과를 반영하기 위함이다.

결과 \( X_1 \)과 \( X_2 \) 간의 상호작용 효과는 NEUF에서 중요한 역할을 한다. 교차 효과는 \( \omega_j \) 함수의 도함수를 통해 정량화된다. 예를 들어, \( X_1 \)의 확률이 \( X_2 \)의 효용에 미치는 교차 효과는 다음과 같이 계산된다:
\[
\omega'_1(P(X_1)) = \omega_1(P(X_1) + aP(X_2)) + \omega_1(P(\neg X_1) - aP(X_2)).
\]
여기서 \( a \)는 두 결과 간의 상관관계를 나타내는 매개변수이다. \( a > 0 \)은 결과가 양의 상관관계에 있음을, \( a < 0 \)은 음의 상관관계를 의미한다.

 

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이 논문에서는 다음과 같은 주요 가중 함수 형태를 사용한다 :

Tversky와 Kahneman (1992) : Tversky와 Kahneman은 확률 왜곡을 설명하기 위해 다음과 같은 확률 가중 함수를 제안하였다:
\[
\omega_j(P(X_j)) = \frac{P(X_j)^\gamma}{\left[P(X_j)^\gamma + P(\neg X_j)^\gamma\right]^{1/\gamma}},
\]
여기서 \(\gamma\)는 비선형성을 결정하는 매개변수이다.

Gonzalez와 Wu (1999) : Gonzalez와 Wu는 추가적인 왜곡 매개변수 \(\delta\)를 포함하여 더 유연한 가중 함수를 제안하였다:
\[
\omega_j(P(X_j)) = \frac{\delta P(X_j)^\gamma}{\delta P(X_j)^\gamma + P(\neg X_j)^\gamma},
\]
여기서 \(\delta\)는 왜곡 정도를 나타내는 매개변수이다.

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이 함수 모두 inverse S자 모양을 띄는 함수들이다. 아래 그림을 참조하면 이해가 쉬울 것 같다. 

 

낮은 확률에서는 실제 확률보다 확률을 과대평가하며 높은 확률에서는 더 낮게 perceive한다. 그리고 linear한 직선이 기존 EUT에서 말하는 proportional relationship between probability and utility를 표현한다고 생각할 수 있다. P*은 unweighted probability로 실제 사람들이 perceive하는 probability가 actual probability와 일치하는 구간으로 수치적으로는 0.33정도이다. 따라서 이러한 invser s-shape을 가지는 (concave initially then convex later on) 여러 함수들을 사람들의 decision making을 모델링할 수 있을 것이다.

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Result

1) 가중 함수의 비교 분석

이 논문에서는 다양한 가중 함수의 형태를 이용하여 교차 결과 효과와 확률 왜곡을 평가하였다. 특히, Tversky와 Kahneman (1992), Gonzalez와 Wu (1999)의 가중 함수는 각각 서로 다른 방식으로 비선형성을 모델링하며, 결과 간 상호작용 효과를 계산하는 데 사용되었다.  

2) 교차 결과 효과 분석

Tversky와 Kahneman의 함수에서 교차 결과 효과 \( \omega'_j \)는 낮은 확률에서 높은 민감도를 보이며, 확률 \( P(X_j) \)가 증가함에 따라 민감도가 감소하는 경향을 나타냈다. 이는 사람들이 낮은 확률을 과대평가하고 높은 확률을 과소평가한다는 실험적 결과와 일치한다. Gonzalez와 Wu의 함수는 추가 매개변수 \( \delta \)를 포함하여, 확률 왜곡의 강도와 민감도를 독립적으로 조정할 수 있는 유연성을 제공하였다.  

예를 들어, \( X_1 \)의 확률이 \( 0.1 \)에서 \( 0.3 \)으로 증가할 때 \( \omega_1(P(X_1)) \)의 변화는 Tversky와 Kahneman의 함수에서는 상대적으로 크게 나타났으며, 이는 낮은 확률에서의 왜곡 효과를 강조한다. 반면, Gonzalez와 Wu의 함수는 \( \delta \)의 값에 따라 이러한 변화가 조정될 수 있었다.  

3) 확률 왜곡의 비대칭성

Gonzalez와 Wu의 함수는 \( \delta \)를 통해 결과별 확률 왜곡의 비대칭성을 모델링할 수 있었다. 예를 들어, \( \delta > 1 \)일 경우 높은 확률이 더 과소평가되는 경향을, \( \delta < 1 \)일 경우 낮은 확률이 더 과대평가되는 경향을 보였다. 이러한 비대칭성은 치료 효과와 부작용을 동시에 고려해야 하는 의학적 의사결정에서 중요한 역할을 한다.  

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NEUF의 장점

 

NEUF를 기반으로 한 분석 틀은 단순히 확률과 효용의 비선형성을 반영하는 것 이상으로, 결과 간의 상호작용 효과를 명시적으로 계산할 수 있는 장점을 제공한다. 이를 통해 다중 위험 요소를 고려할 때 다음과 같은 중요한 결과를 도출하였다:

1. 교차 결과 효과의 크기

다중 위험 상황에서, 결과 간의 교차 효과는 낮은 확률에서 가장 두드러지게 나타났다. 예를 들어, 두 결과 \( X_1, X_2 \)가 독립적이라고 가정하더라도, NEUF는 교차 효과 \( \omega'_j \)를 통해 \( X_1 \)의 변화가 \( X_2 \)의 효용에 미치는 영향을 계산할 수 있다. 이 효과는 \( P(X_1) \)와 \( P(X_2) \)가 각각 \( 0.5 \)에 가까워질수록 감소하였다. 이는 상호작용 효과가 최대 불확실성(즉, 확률 50%)에서 가장 크고, 결과가 확실성에 가까워질수록 상호작용이 사라진다는 것을 보여준다.

2. 비선형성의 효과

NEUF를 통해 도출된 효용 기대값은 EUT와 비교하여 비선형성을 명시적으로 반영하였다. 예를 들어, \( X_1 \)의 확률이 \( 0.1 \)에서 \( 0.2 \)로 증가할 때 \( \omega_1(P(X_1)) \)의 변화가 \( 0.8 \)에서 \( 0.85 \)로 증가하는 경우, 이는 EUT에서는 동일한 변화로 간주되지만 NEUF에서는 비선형성을 통해 더 큰 변화로 반영될 수 있었다.

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Conclusion

 

1. 다중 위험 분석의 실용적 장점

 

이 논문의 분석 틀은 심부전 치료 기기의 효과 및 위험을 평가하기 위한 이산 선택 실험(DCE)에 적용되었다. DCE를 통해 환자가 치료 효과와 부작용 간의 교환 비율을 결정하는 방식이 NEUF로 잘 설명되었다. 특히, Gonzalez와 Wu의 가중 함수는 치료의 효과(생존율 향상)와 부작용(합병증 위험 증가) 간의 비대칭성을 정확히 반영하였다.  

2. 분석 틀의 한계

본 연구에서 사용된 DCE 데이터는 위험 요소 간의 상관관계를 고려하지 않았으며, 이로 인해 위험 간의 상호작용 효과를 완전하게 반영하지 못할 가능성이 있다. 또한, 응답자별 선호 차이를 설명하기 위해 사용된 조건부 로짓 모델은 개인별 취향 변동성을 고려하지 못한다는 한계가 있다. 이거는 latent choice model로 확장되어야 하겠죠.

3. 향후 연구 방향 

- 위험 요소 간의 상관관계를 포함하는 실험 설계.
- NEUF 기반 분석 틀에 다층 로짓 모델을 적용하여 개인별 선호 이질성을 분석.
- NEUF의 비대칭성을 활용한 규제 및 정책 의사결정 지원.